Divisibility Rules In hindi – विभाज्यता के नियम

नमस्कार दोस्तों, Postalgyaan के नए पोस्ट में आपका फिर से स्वागत है आज की इस लेख में हम Divisibility Rules In hindi के बारे में जानेंगे। जब कोई बड़ी संख्या को भाग देना हो तो हम उस भाग को हल करने में काफी समय लग जाता है। ऐसे में अगर हमे Divisibility Rules याद हो तो हम कुछ निश्चित संख्याओ को देखकर बड़ी आसानी से पता लगा सकते है वो संख्या उस संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules In hindi):-

ऐसी विधियाँ जो आसानी (सरलता) से यह बता देते हैं कि कोई संख्या ( प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक इत्यादि) किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।

उदाहरणार्थ:- क्या संख्या 25713, 3 से पूर्णतः विभाजित है?

हल:- हां, संख्या 25713, 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। क्योंकि दी गई संख्या के सभी अंको का योगफल 3 से पूर्णतः विभाजित है।

विभाज्यता के सामान्य गुण (Simple Properties of Divisibility Rules In hindi)

  1. यदि एक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाज्य हो, तो वह संख्या दूसरी संख्या के सभी गुणनखंडों से विभाज्य होती है।

    उदाहरणार्थ:- (1) 20 = 10 × 2
    10 = 2 × 5

    उपरोक्त में संख्या 20,संख्या 10 से विभाज्य है तथा वह 2 और 5 से भी विभाज्य है। 2 और 5 संख्या 10 के गुणनखंड हैं।

    उदाहरणार्थ:- (2) 28 = 14 × 2
    14 = 2 × 7

    उपरोक्त में संख्या 28,संख्या 14 से विभाज्य है तथा वह 2 और 7 से भी विभाज्य है। 2 और 7 संख्या 14 के गुणनखंड हैं।
Divisibility Rules In hindi
  1. यदि कोई संख्या दो या दो से अधिक सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो तो वह संख्या भी उन सह-अभाज्य संख्याओं के गुणनफल से भी विभाज्य होती है

    उदाहरणार्थ:- (1) 36 = 2 × 18
    या,                     36 = 3 × 12
    या,                     36 = 4 × 9

    उपरोक्त से स्पष्ट है कि 2, 3, 4, 9, 12 और 18 सभी संख्या 36 के गुणनखंड है। और इन सभी गुणनखंडों से संख्या 36 पूर्णतः विभाज्य है। जिसमें 2 और 3 सह-अभाज्य संख्याएं हैं।

    उदाहरणार्थ:- (2) 60 = 2 × 30
    या,                     60 = 3 × 20
    या,                     60 = 5 × 12

    उपरोक्त से स्पष्ट है कि 2, 3, 4, 15, 20 और 30 सभी संख्या 60 के गुणनखंड है। और इन सभी गुणनखंडों से संख्या 60 पूर्णतः विभाज्य है। जिसमें 2, 3 और 5 सह-अभाज्य संख्याएं हैं।
  1. यदि कोई संख्या दो दी हुई संख्याओं का गुणनखंड हो, तो वह संख्या उनके योगफल का भी गुणनखंड होती हैं।

    उदाहरणार्थ:- 25 और 45 दोनों का गुणनखंड 5 है, क्योंकि
     25 = 5 × 5       तथा        45 = 9 × 5
    दोनों को जोड़ने पर-
    25 + 45 = 5 × 5 + 9 × 5
    या,                    70 = 5 (5 + 9)
    या,                    70 = 5 × 14

    उपरोक्त में 25 और 45 दोनों का गुणनखंड 5 है और 25 और 45 के योग 70 का भी गुणनखंड 5 है। 
  1. यदि कोई संख्या दो दी हुई संख्याओं का गुणनखंड हो, तो वह संख्या उनके अंतर का भी गुणनखंड होती हैं

    उदाहरणार्थ:- 55 और 88 दोनों का गुणनखंड 11 है, क्योंकि
    55 = 5 × 11       तथा        88
     अब 88 में से 55 घटाने पर-
    88 – 55 = 8 × 11- 5 × 11
    या,                   33 = 11 (8 – 5)
    या,                        = 11 × 3

    उपरोक्त में 88 और 55 दोनों का गुणनखंड 11 है, और 88 और 55 के अंतर 33 का भी गुणनखंड 11 है।

विभाज्यता की जांच (Divisibility Checking Rules)

यह ज्ञात करने के लिए कोई संख्या किसी दूसरी संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है। हम वास्तविक भाग की क्रिया कर सकते हैं। कभी-कभी इसमें अधिक समय एवं श्रम लग जाता है।  इन सभी कठिनाइयों से बचने के लिए संख्याओं की विभाज्यता सबसे सरल उपाय हैं।

संख्याओं की 2 से विभाज्यता (2 Divisibility Rules In hindi) :- सभी सम संख्याएं 2 से पूर्णतः विभाज्य होती हैं।
अथवा
ऐसी संख्याएं जिनके इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6 अथवा 8 हो, वे 2 से पूर्णतः विभाज्य होती हैं।

उदाहरणार्थ:- क्या संख्या 15702, 2 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 15702 के इकाई के स्थान पर 2 है। अतः 15702 संख्या, 2 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 2 ) 15702 ( 785
– 14↓
————
17↓
– 16↓
———
10
– 10↓
 ———
2
– 2
———
0
————
अतः सिद्ध हुआ की संख्या 15702, 2 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं की 3 से विभाज्यता Divisibility Rules In hindi of 3:- यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 का एक गुणज हो या 3 से पूर्णतः विभाज्य हो, तो वह संख्या भी 3 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

उदाहरणार्थ:- क्या संख्या 2154, 2 से विभाज्य है?

हल:- 2154 के अंकों का योग = 2 + 1 + 5 + 4 
= 12

चूँकि संख्या 2154 के अंकों का योग 12 हैं और 12, 3 से पूर्णतः विभाज्य होती है।

अतः संख्या 2154 भी 3 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 3 ) 2154 ( 718- 21↓
————

          5↓

        – 3↓

      ————

          24

        – 24

         ————

             0

         ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 2154, 3 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं की 4 से विभाज्यता (Divisibility Rules In hindi of 4):- यदि किसी संख्या के इकाई और दहाई के अंकों से बनी संख्या 4 से पूर्णतः विभाजित होती है, तो वह संख्या 4 से पूर्णतः विभाजित होगी।

अथवा

जिस संख्या के इकाई और दहाई के दोनों अंक शून्य हो, वह संख्या भी 4 से पूर्णतः विभाज्य होती है।

उदाहरणार्थ:- (1) क्या संख्या 32716, 4 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 32716 के इकाई तथा दहाई के स्थान पर 16 है। और संख्या 32716, 4 से पूर्णतः विभाजित होती है।

अतः संख्या 32716, 4 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 4 ) 32716 ( 8179

    – 32↓↓↓

    ————

          7↓↓

        – 4↓↓

      ————

          31↓

        – 28↓

         ————

            36

          – 36

          ————

               0

          ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 82716, 4 से पूर्णतः विभाज्य हैं। 

उदाहरणार्थ:- (2) क्या संख्या 7800, 4 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 7800 के इकाई तथा दहाई दोनो के अंक 0 है। और 7800 , 4 से पूर्णतः विभाजित होती है।

अतः 7800 संख्या, 4 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 4 ) 7800 ( 1950

    – 4↓↓↓

    ———

      38↓↓

    – 36↓↓

     ———

        20↓

      – 20↓

       ———

         00

       ———

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 7800, 4 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

यह भी पढ़े:

संख्याओं की 5 से विभाज्यता (Divisibility Rules In hindi of 5)::- यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0 अथवा 5 हो तो वह संख्या 5 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

उदाहरणार्थ:- (1) क्या संख्या 13065, 5 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 13065 के इकाई के स्थान पर 5 है।

अतः संख्या 13065, 2 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 5 ) 13065 ( 2613

    – 10↓↓↓

    ————

        30↓↓

      – 30↓↓

      ————

            6↓

          – 5↓

         ————

            15

          – 15

          ————

               0

          ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 13065, 5 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

उदाहरणार्थ:- (2) क्या संख्या 3720, 5 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 3720 के इकाई के स्थान पर 5 है।

अतः संख्या 3720, 2 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 5 ) 3720 ( 744

    – 35↓↓

    ————

        22↓

      – 20↓

      ————

          20

        – 20

       ————

            0

       ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 3720, 5 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं की 6 से विभाज्यता (Divisibility Rules In hindi of 6):- ऐसी संख्याएं जो 2 एवं 3 दोनों से पूर्णतः विभाज्य होती हैं, वे 6 से भी पूर्णतः विभाज्य होंगी।

उदाहरणार्थ:- (1) क्या संख्या 8016, 6 से विभाज्य है?

हल:- 2 से विभाज्यता की जांच-

चूँकि संख्या 8016 के इकाई के स्थान पर 6 है।

अतः संख्या 8016, 2 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

3 से विभाज्यता की जांच-

8016 के अंकों का योग = 8 + 1 + 6

                               = 15

चूँकि संख्या 8016 के अंकों का योग 15 हैं और 15, 3 से पूर्णतः विभाज्य होती है।

अतः संख्या 8016 भी 3 से पूर्णतः विभाज्य होगी। 

चूँकि संख्या 8016, 2 तथा 3 दोनों से पूर्णतः विभाज्य है।

अतः संख्या 8016, 6 से भी पूर्णतः विभाज्य होगी।

 6 ) 8016 ( 1336

    – 6↓↓↓

  ————

      20↓↓

    – 18↓↓

    ————

        21↓

      – 18↓

      ————

          36

        – 36

       ————

             0

       ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 8016, 6 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

उदाहरणार्थ:- (2) क्या संख्या 23604, 6 से विभाज्य है?

हल:- 2 से विभाज्यता की जांच-

चूँकि संख्या 23604 के इकाई के स्थान पर 4 है।

अतः संख्या 23604, 2 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

3 से विभाज्यता की जांच-

23604 के अंकों का योग = 2 + 3 + 6 + 4

                               = 15

चूँकि संख्या 23604 के अंकों का योग 15 हैं और 15, 6 से पूर्णतः विभाज्य होती है।

अतः संख्या 23604 भी 6 से पूर्णतः विभाज्य होगी। 

चूँकि संख्या 23604, 2 तथा 3 दोनों से पूर्णतः विभाज्य है।

अतः संख्या 23604, 6 से भी पूर्णतः विभाज्य होगी।

 6 ) 23604 ( 3934

    – 18↓↓↓

  ————

        56↓↓

      – 54↓↓

    ————

          20↓

        – 18↓

      ————

            24

          – 24

       ————

             0

       ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 23604, 6 से पूर्णतः विभाज्य हैं। 

संख्याओं की 7 से विभाज्यता:- 

संख्याओं की 8 से विभाज्यता:- यदि किसी संख्या का इकाई, दहाई और सैकड़े के सभी तीनों स्थानों पर 0 हो या इन तीनों स्थानों के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो, तो संख्या आठ से विभाज्य होगी

उदाहरणार्थ:- (1) क्या संख्या 3128, 8 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 3128 के इकाई, दहाई तथा सैकड़े के स्थान पर 128 है।

4 ) 128 ( 32

   – 12↓

  ————

         8

       – 8

     ————

         0

     ————

संख्या 128, 8 से पूर्णतः विभाजित होती है।

अतः संख्या 3128, 8 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 4 ) 3128 ( 782

    – 28↓↓

  ————

        32↓

      – 32↓

    ————

            8

          – 8

      ————

            0

      ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 3128, 8 से पूर्णतः विभाज्य हैं। 

उदाहरणार्थ:- (2) क्या संख्या 54000, 8 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 54000 के इकाई, दहाई तथा सैकड़े के स्थान पर 000 है।

अतः संख्या 54000, 8 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 4 ) 54000 ( 1350

    – 4↓↓↓↓

    ———

      14↓↓↓

    – 12↓↓↓

     ———

        20↓↓

      – 20↓↓

       ———

            00

       ———

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 54000, 8 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं के 9 से विभाज्यता (Divisibility Rules In hindi of 9):- यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 का अपवर्त्य हो तो वह संख्या 9 से पूर्णतः विभाजित होती है

 उदाहरणार्थ:- क्या संख्या 7281, 9 से विभाज्य है?

हल:- 7281 के अंको का योग = 7 + 2 + 8 + 1

                                       = 18

चूँकि संख्या 7281 के अंको का योग 18 है। जो 9 का अपवर्त्य है।

अतः संख्या 7281, 9 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 9 ) 7281 ( 89

    – 72↓↓

    ————

          81

        – 81

      ————

            0

      ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 7281, 9 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं की 10 से विभाज्यता (Divisibility Rules In hindi of 9):- ऐसी संख्याएं जिनके इकाई के अंक 0 हो, वह सभी संख्याएं 10 से पूर्णतः विभाज्य होंगी।

उदाहरणार्थ:- क्या संख्या 17360, 10 से विभाज्य है?

हल:- चूँकि संख्या 17360 के इकाई के स्थान पर 0 है।

अतः 17360 संख्या, 10 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

 10 ) 17360 ( 1736

      – 10↓↓↓

    ————

          73↓↓

        – 70↓↓

      ————

            36↓

          – 30↓

         ————

              60

            – 60

          ————

               0

          ————

 अतः सिद्ध हुआ की संख्या 17360, 10 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं की 11 से विभाज्यता (Divisibility Rules In hindi of 11):- यदि किसी संख्या में इकाई से प्रारंभ कर दायें से बायें की ओर के क्रम में विषम स्थानों के अंकों के योगफल तथा सम स्थानों के अंकों के योगफल का अंतर 0 अथवा 11 का अपवर्त्य हो, तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाजित होती हैं।

उदाहरणार्थ:- (1) क्या संख्या 803, 11 से विभाज्य है?

हल:- सम स्थान वाले अंकों का योग = 0

विषम स्थान वाले अंकों का योग = 3 + 8 = 11

दोनों का अंतर = 11 – 0

                   = 11

चूँकि 11, संख्या 11 का एक अपवर्त्य है।

अतः संख्या 803, 11 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

11 ) 803 ( 73

     – 77↓

    ————

         33

       – 33

     ————

           0

     ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 803, 11 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

उदाहरणार्थ:- (2) क्या संख्या 2761, 11 से विभाज्य है?

हल:- सम स्थान वाले अंकों का योग = 6 + 2 = 8

      विषम स्थान वाले अंकों का योग = 1 + 7 = 8

दोनों का अंतर = 8 – 8

                   = 0

चूँकि दोनों का अंतर 0 है।

अतः संख्या 2761, 11 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

11 ) 2761 ( 251

     – 22↓↓

   ————

         56↓

       – 55↓

     ————

           11

         – 11

       ————

            0

       ————

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 2761, 11 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

संख्याओं की 12 से विभाज्यता(Divisibility Rules In hindi of 12):-  जो संख्याएं 3 और 4 दोनों से पूर्णतः विभाज्य होती हैं, वे 12 से भी पूर्णतः विभाज्य होते हैं।

उदाहरणार्थ:- क्या संख्या 5400, 12 से विभाज्य है?

हल:- 3 से विभाज्यता की जांच-

5400 के सभी अंको का योग = 5 + 4 = 9

चूँकि 9, 3 से पूर्णतः विभाज्य है।

4 से विभाज्यता की जांच-

चूँकि संख्या 5400 के इकाई तथा दहाई दोनो के अंक 0 है।

अतः संख्या 5400, 4 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

चूँकि संख्या 5400, 3 तथा 4 दोनों से पूर्णतः विभाज्य है।

अतः 12 से भी पूर्णतः विभाज्य होगी।

 12 ) 5400 ( 450

      – 48↓↓

      ———

          60↓

        – 60↓

        ———

            00

         ———

अतः सिद्ध हुआ की संख्या 5400, 12 से पूर्णतः विभाज्य हैं।

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